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   "source": [
    "# 初等几何核心定理与公式大全\n",
    "\n",
    "## 一、平面几何基础\n",
    "\n",
    "### 1. 直线与角\n",
    "- **补角定理**：两角互补，和为180°\n",
    "- **对顶角定理**：对顶角相等\n",
    "- **平行线性质**：\n",
    "  - 同位角相等\n",
    "  - 内错角相等\n",
    "  - 同旁内角互补\n",
    "\n",
    "### 2. 三角形\n",
    "#### （1）基本性质\n",
    "- **内角和定理**：三角形内角和=180°\n",
    "- **外角定理**：外角=不相邻两内角和\n",
    "- **三边关系**：任意两边和>第三边\n",
    "\n",
    "#### （2）特殊三角形\n",
    "- **等腰三角形**：\n",
    "  - 两底角相等\n",
    "  - 顶角平分线垂直平分底边\n",
    "- **等边三角形**：\n",
    "  - 三内角均为60°\n",
    "  - 所有特殊线重合（高/中线/角平分线/垂直平分线）\n",
    "- **直角三角形**：\n",
    "  - 勾股定理：a² + b² = c²\n",
    "  - 30°-60°-90°三角形：三边比为1:√3:2\n",
    "  - 45°-45°-90°三角形：三边比为1:1:√2\n",
    "\n",
    "#### （3）全等判定（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）\n",
    "- **SSS**：三边对应相等\n",
    "- **SAS**：两边及夹角对应相等\n",
    "- **ASA**：两角及夹边对应相等\n",
    "- **AAS**：两角及非夹边对应相等\n",
    "- **HL**：直角△斜边和直角边对应相等（仅适用于直角三角形）\n",
    "\n",
    "#### （4）相似判定（AA/SAS/SSS）\n",
    "- **AA**：两角对应相等\n",
    "- **SAS**：两边成比例且夹角相等\n",
    "- **SSS**：三边对应成比例\n",
    "\n",
    "### 3. 四边形\n",
    "- **平行四边形**：\n",
    "  - 对边平行且相等\n",
    "  - 对角线互相平分\n",
    "- **矩形**：\n",
    "  - 所有平行四边形性质\n",
    "  - 对角线相等\n",
    "  - 四个直角\n",
    "- **菱形**：\n",
    "  - 所有平行四边形性质\n",
    "  - 对角线垂直\n",
    "  - 四边相等\n",
    "- **正方形**：\n",
    "  - 兼具矩形和菱形所有性质\n",
    "- **梯形**：\n",
    "  - 中位线长度=½(上底+下底)\n",
    "\n",
    "### 4. 圆\n",
    "- **圆周角定理**：圆周角=½圆心角\n",
    "- **弦切角定理**：弦切角=所夹弧对应圆周角\n",
    "- **垂径定理**：垂直于弦的直径平分弦及所对弧\n",
    "- **相交弦定理**：PA×PB=PC×PD\n",
    "- **切割线定理**：PT²=PA×PB\n",
    "\n",
    "## 二、重要几何公式\n",
    "\n",
    "### 1. 周长公式\n",
    "- 三角形：P=a+b+c\n",
    "- 矩形：P=2(a+b)\n",
    "- 正方形：P=4a\n",
    "- 圆：C=2πr=πd\n",
    "\n",
    "### 2. 面积公式\n",
    "| 图形       | 公式                     | 备注                  |\n",
    "|------------|--------------------------|-----------------------|\n",
    "| 三角形     | S=½ah                    | 底×高÷2               |\n",
    "|            | S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]    | 海伦公式（p=½周长）    |\n",
    "| 矩形       | S=ab                     | 长×宽                 |\n",
    "| 平行四边形 | S=ah                     | 底×高                 |\n",
    "| 梯形       | S=½(a+b)h                | （上底+下底）×高÷2    |\n",
    "| 菱形       | S=½d₁d₂                  | 对角线乘积÷2           |\n",
    "| 圆         | S=πr²                    |                      |\n",
    "| 扇形       | S=½r²θ                   | θ为弧度制圆心角        |\n",
    "|            | S=(n°/360°)πr²           | n°为角度制圆心角       |\n",
    "\n",
    "### 3. 体积公式\n",
    "| 图形       | 公式             | 备注              |\n",
    "|------------|------------------|-------------------|\n",
    "| 立方体     | V=a³             | 棱长³             |\n",
    "| 长方体     | V=abc            | 长×宽×高          |\n",
    "| 柱体       | V=Sh             | 底面积×高         |\n",
    "| 锥体       | V=⅓Sh            | 底面积×高÷3       |\n",
    "| 球         | V=⁴⁄₃πr³         |                  |\n",
    "| 圆柱       | V=πr²h           |                  |\n",
    "| 圆锥       | V=⅓πr²h          |                  |\n",
    "\n",
    "### 4. 表面积公式\n",
    "| 图形       | 公式                     |\n",
    "|------------|--------------------------|\n",
    "| 立方体     | S=6a²                    |\n",
    "| 长方体     | S=2(ab+bc+ac)            |\n",
    "| 球         | S=4πr²                   |\n",
    "| 圆柱       | S=2πr²+2πrh              |\n",
    "| 圆锥       | S=πr²+πrl（l为母线长）   |\n",
    "\n",
    "## 三、几何变换\n",
    "\n",
    "### 1. 对称性\n",
    "- **轴对称**：对称轴两侧图形全等\n",
    "- **中心对称**：绕对称中心旋转180°后重合\n",
    "\n",
    "### 2. 相似变换\n",
    "- **比例性质**：对应边成比例，对应角相等\n",
    "- **位似变换**：对应点连线交于同一点（位似中心）\n",
    "\n",
    "### 3. 坐标几何\n",
    "- **距离公式**：d=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]\n",
    "- **中点公式**：M=((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)\n",
    "- **斜率公式**：k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)\n",
    "\n",
    "## 四、实用几何定理\n",
    "\n",
    "### 1. 三角形重要定理\n",
    "- **中线定理**：AB²+AC²=2(AD²+BD²)（D为BC中点）\n",
    "- **角平分线定理**：BD/DC=AB/AC\n",
    "- **射影定理**（仅直角△）：\n",
    "  - AC²=AD·AB\n",
    "  - BC²=BD·AB\n",
    "  - CD²=AD·BD\n",
    "\n",
    "### 2. 圆幂定理\n",
    "- **幂的定理**：点P对⊙O的幂=OP²-r²\n",
    "- **根轴性质**：到两圆幂相等的点的轨迹\n",
    "\n",
    "> **学习建议**：建议通过几何画板动态演示理解定理，配合典型例题（如梅涅劳斯定理、塞瓦定理等竞赛常用定理）深化掌握。"
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